Kein Thermometer, kein Problem

Wie man das Wasser für den Kaffee auf die gewünschte Temperatur bringt, wenn man kein Thermometer hat

Befindest du dich auf einer Reise mit wenig Gepäck, hast dein Thermometer beim Darts spielen aus Versehen als Pfeil verwendet oder möchtest du dein Thermometer nicht für den Kaffee benutzen, weil es bereits dunkle Orte gesehen hat, die kein Thermometer gerne sieht?

Kein Problem, man kann auch ohne Thermometer die richtige Temperatur für den Kaffee erreichen, ohne ein Thermometer zu benutzen.

Dazu stehen uns zwei Optionen zur Verfügung:

Die unpräzise Variante: Warten, bis das Wasser die entsprechende Temperatur erreicht.

Vorteile

Nachteile

✔️ benötigt nur Zeit

❌ unpräzise

❌ abhängig von vielen Variablen wie Wasserkocher oder Raumtemperatur

Die präzise Variante: Mittels etwas physikalischem Wissen das Wasser auf die richtige Temperatur bringen

Vorteile

Nachteile

✔️ Viel genauer als Variante 1

❌ benötigt etwas Mathematik

Die Formel des Todes

Eine Warnung zu Beginn: Du hasst Mathematik/Physik/der absoluten Wahrheit direkt in das Auge zu sehen? DANN LIES NICHT WEITER. Gern geschehen.

Die Formel zur Berechnung der Temperatur der Mischung zweier Flüssigkeiten sieht erstmal unverständlich aus:

Tm=m1c1T1+m2c2T2m1c1+m2c2T_{m} = \frac{m_{1} \cdot c_{1} \cdot T_{1} + m_{2} \cdot c_{2} \cdot T_{2}} {m_{1} \cdot c_{1} + m_{2} \cdot c_{2} }

Legende

  • Tm ist die Mischtemperatur in Grad Celsius

  • m1 ist die Masse des ersten Stoffs in Gramm

  • m2 ist die Masse des zweiten Stoffs in Gramm

  • c1 ist die spezifische Wärmekapazität des ersten Stoffes in Joule pro Kilogramm mal Celsius

  • c2 ist die spezifische Wärmekapazität des zweiten Stoffes in Joule pro Kilogramm mal Celsius

  • T1 ist die Temperatur des ersten Stoffs in Grad Celsius

  • T2 ist die Temperatur des zweiten Stoffs in Grad Celsius

Wir kochen auch nur mit Wasser

Wenn c1 = c2 ist, weil man dieselbe Substanz mischt (was bei uns der Fall ist), macht das die Formel etwas kürzer:

Tm=m1T1+m2T2m1+m2T_{m} = \frac{m_{1} \cdot T_{1} + m_{2} \cdot T_{2}} {m_{1} + m_{2}}

Bisschen umstellen, bisschen kürzen, viel Mathe

Überspringen, wenn du nur die Schlussformel haben willst

Gehen wir nun weiter davon aus, dass wir keine bestimmte Masse wissen wollen, sondern es uns um das Mischverhältnis geht. Aufgrund dessen legen wir fest, dass

m1+m2=1m_{1} + m_{2} = 1

Diese Formel kann man einfach umstellen, damit wir sie in die obere Formel einsetzen können:

m1=1m2m_{1} = 1 - m_{2}

Setzen wir die Werte in die Formel ein, so ergibt sich dies:

Tm=(1m2)T1+m2T21T_{m} = \frac{(1-m_{2}) \cdot T_{1} + m_{2} \cdot T_{2}} {1}

Das lässt sich noch ein wenig vereinfachen:

Tm=T1m2T1+m2T2T_{m} =T_{1} - m_{2} \cdot T_{1} + m_{2} \cdot T_{2}

Nun stellen wir die Formel nach m2 um, um schlussendlich das Mischverhältnis zu erlangen:

m2=TmT1T2T1m_{2} = \frac {T_{m}-T_{1}}{T_{2} - T{_1}}

Mit den richtigen Temperaturen weiterrechnen

Was wir an dieser Stelle auch wissen, sind die Temperaturen T1 und T2. Aufgekochtes Wasser aus dem Wasserkocher kommt mit ziemlich genau 100 °C heraus, wohingegen das Wasser aus dem Wasserhahn meist 20 °C hat.

T1=20°CT_{1} = 20 °C
T2=100°CT_{2} = 100 °C

Nun müssen wir entscheiden, welche Mischtemperatur Tm haben wollen. 90 °C dürften ein guter Start sein:

Tm=90°CT_{m} = 90 °C

Wir setzen T1, T2 und Tm in die Formel von oben ein. Das ergibt:

m2=90°C20°C100°C20°C=0.875m_{2} = \frac {90°C-20°C}{100°C-20°C} = 0.875

Da wir festgestellt haben, dass

m1+m2=1m_{1} + m_{2} = 1

Ergibt sich

1m2=10.875=0.1251- m_{2} = 1 - 0.875 = 0.125

Das richtige Verhältnis

Das ist das Verhältnis, mit welchem wir das kältere Wasser in das kochende Wasser aus dem Wasserkocher geben müssen.

Also benötigen wir, wenn wir eine Tasse mit 250g von 90 °C heißem Wasser haben wollen,

0.125250g=31.25g0.125 \cdot 250g = 31.25g

knapp 31g Wasser mit 20 °C mit 219g Wasser mit 100°C mischen.

Damit haben wir erfolgreich das Thermometer ersetzt durch etwas Physik und nur wenige meiner Leser wurden auf dem halben Weg verloren.

Bonus: Kleine Umrechnungstabelle

Wenn das Wasser aus dem Wasserhahn 15 °C hat:

Zieltemperatur

Anteil Wasser aus Hahn

Anteil Wasser aus Wasserkocher

100 °C

0

1

95 °C

0,059

0,941

90 °C

0,118

0,882

85 °C

0,177

0,823

Wenn das Wasser aus dem Wasserhahn 20 °C hat:

Zieltemperatur

Anteil Wasser aus Hahn

Anteil Wasser aus Wasserkocher

100 °C

0

1

95 °C

0,0625

0,9375

90 °C

0,125

0,875

85 °C

0,1875

0,8125

Wenn das Wasser aus dem Wasserhahn 25 °C hat:

Zieltemperatur

Anteil Wasser aus Hahn

Anteil Wasser aus Wasserkocher

100 °C

0

1

95 °C

0,067

0,933

90 °C

0,133

0,867

85 °C

0,2

0,8